Espacios vectoriales

 

• ¿Qué son los espacios vectoriales?

Esta estructura surge mediante una operación de suma interna al conjunto y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo. Es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) es una estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple unas propiedades específicas.

 

Todo espacio vectorial dispone de una base y que todas las bases de un espacio vectorial (puede haber más de una), a su vez, presentan la misma cardinalidad.

 

 

 

• Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

1. Ley de composición interna: si Ū y ṽ son vectores de V, entonces (Ū+ ṽ) está en V.

 

2. Propiedad conmutativa: si Ū y ṽ son vectores de V, entonces Ū+ ṽ = ṽ + Ū.

 

3. Propiedad asociativa: si Ū y ŵ son vectores de V, entonces Ū + (ṽ + ŵ) = (Ū + ṽ) + ŵ.

 

4. Existencia del elemento neutro: Existe un vector V, denominado vector nulo, tal que para cualquier vector Ū de V: Ō + Ū = Ū+ Ō= Ū.

 

5. Existencia del elemento inverso aditivo: Para todo vector  Ū de V existe un vector - Ū en V, denominado opuesto de Ū tal que Ū+(Ū) = (-Ū) + Ū = Ō.

 

6. Ley de composición externa:  si A: es cualquier numero real de Ū es cualquier vector de V, entonces (A. Ū) esta en V.

 

7. Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares: si A: es cualquier numero real y Ū y ṽ son vectores de V, entonces A*(Ū+ ṽ) =A* Ū+A* ṽ.

 

8. Propiedad distributiva del producto de un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares: si A y B son cualquier par de escalares y Ū es cualquier vector de V entonces (A+B) * Ū=A* Ū+B* Ū.

• ¿Qué es un subespacio vectorial?

Es el subconjunto de un espacio vectorial que en sí mismo funciona como un espacio vectorial, ya que cuenta con las mismas operaciones básicas: suma entre sus elementos y multiplicación de alguno de estos por un escalar.

 

 

• Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio.

 

1. El elemento nulo (cero, 0) siempre debe estar en el subconjunto

 

2. Debe ser cerrado bajo la suma, es decir, el resultado de sumar un par de elementos del subconjunto debe estar dentro de este.

 

3. Debe ser cerrado bajo el producto por escalar, es decir, el resultado de multiplicar cualquier elemento del subconjunto por un escalar debe estar dentro de este.

• Explique cuáles son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

Dimensión:

La dimensión de un subespacio vectorial es el número de vectores de cualquiera de sus bases; equivalentemente el número mínimo de vectores que general el espacio sub vectorial. Equivalentemente, el mayor número de vectores independientes contenidos en el subespacio.

 

Si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se  denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita, si V = {0}, entonces se dice que V tiene dimensión 0. 

La dimension V se denota como dimension V

si H es un subespacio del espacio de dimension infinita v, entonces dimension H ≤ dimension v

 

Rango:

Fil(A)Fil(A) y Col(A)Col(A) son en general subespacios de diferentes espacios vectoriales. Pero se puede demostrar que en cualquier matriz la dimensión del espacio fila coincide con la dimensión del espacio columna, y a ese número se lo llama rango de la matriz AA

Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ϵ (V, W). El rango de T se define como la dimensión  de la imagen de T

r(T) = dim(im(T))

 

Base:

 Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio.

 

Un conjunto finito de vectores {V1, V1.V3...........Vn} es una base para un espacio vectorial V si

 

1. {V1,V2,V3..............Vn} es linealmente independiente

 

2. {V1,V2,V3..............Vn} genera a V

 

Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn es una base en Rn.